expからsincを取り出す

expからsincを取り出したい場面に出会ったのでメモしておきます。

音響とか信号処理とかで使うかも???

$$\begin{align}e^{x}&=(e^{x}-1)+1\\&=e^{\frac{x}{2}}(e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}})+1\\&=e^{\frac{x}{2}}2jsin\frac{x}{2}+1\\&=e^{\frac{x}{2}}2j\frac{x}{2}\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}+1\\&=e^{\frac{x}{2}}jxsinc\frac{x}{2}+1\end{align}$$